고등학교 고3 통계확률

순열과 조합

Q: ₙC₀과 ₙCₙ은 왜 1인가요?

\frac{n!}{0!\cdot n!}=1입니다. 아무것도 고르지 않거나 전부 고르는 방법은 각각 1가지입니다.

Q: 이항정리에서 특정 항을 빠르게 구하는 방법은요?

(a+b)^n의 r+1번째 항은 \binom{n}{r}a^{n-r}b^r입니다. b^r의 차수를 먼저 결정하세요.

Q: ₙC_r = ₙCₙ-r은 왜 성립하나요?

r개를 '고르는 것'은 n-r개를 '남기는 것'과 같기 때문입니다.

n P r = \frac{n !}{( n - r )!}

(순서 있음),

n C r = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

(순서 없음).

비밀번호는 순서가 다르면 다른 번호이므로 순열, 팀 구성은 순서가 없으므로 조합으로 셉니다.

쉽게 말하면

순열(Permutation): $n$ 개 중 $r$ 개를 순서 있이 나열하는 경우의 수.
$_{n} P_{r} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - r + 1) = \frac{n !}{( n - r )!}$

조합(Combination): $n$ 개 중 $r$ 개를 순서 없이 선택하는 경우의 수.
$_{n} C_{r} = (r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} = \frac{_{n} P _{r}}{r !}$

중복순열: $n$ 개 중 중복 허용으로 $r$ 개 나열: $n^{r}$

중복조합: 같은 종류를 중복 선택할 때 $_{n} H_{r} =_{n + r - 1} C_{r}$

이항정리: $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}$
이항계수의 성질: $(k n) = (n - k n)$ , $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$

수능에서는 '특정 조건을 만족하는 경우의 수'를 구하는 문항에서 경우 분류 전략이 핵심입니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$_{5} P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

5명 중 3명을 순서대로 뽑아 1·2·3등을 정하는 경우의 수.
예시 2

$_{8} C_{3} = \frac{8 !}{3 ! \cdot 5 !} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

8명 중 3명을 뽑아 팀을 만드는 경우의 수. 순서는 무관합니다.
예시 3

$(x + y)^{4} 의 x^{2} y^{2} 계수 = (2 4) = 6$

이항정리에서 $x^{2} y^{2}$ 항은 $(2 4) x^{2} y^{2}$ 이므로 계수는 6.
예시 4

$_{3} H_{2} =_{3 + 2 - 1} C_{2} =_{4} C_{2} = 6$

3종류 사탕에서 중복 허용하여 2개 고를 때의 경우의 수입니다.
예시 5

$AABBB 를 한 줄로 배열하는 가짓수 = \frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !} = \frac{120}{12} = 10$

같은 것이 있는 순열: 전체 $n!$ 을 같은 문자의 개수 팩토리얼로 나눕니다. A가 2개, B가 3개이므로 $2! \cdot 3!$ 로 나눕니다.

풀이 절차

경우의 수 판별 순서

1 순서가 중요한지 결정합니다: 순서 있으면 순열, 없으면 조합.
2 중복이 허용되는지 확인합니다: 중복 허용 순열이면 $n^{r}$ 을 사용합니다.
3 조건(특정 원소 포함 또는 제외 등)이 있으면 경우를 분리해 각각 계산합니다.
4 곱의 법칙·합의 법칙으로 결과를 조합해 최종 답을 구합니다.

자주 하는 실수

순열과 조합 혼동

❌ 안 좋은 예

3 명중반장 \cdot 부반장선출 에_{3} C_{2} = 3 사용

✓ 좋은 예

_{3} P_{2} = 3 \times 2 = 6

왜요? 역할(반장/부반장)이 다르면 순서가 있는 것이므로 순열을 써야 합니다.

이항계수 계산 시 분모

r!

누락

❌ 안 좋은 예

(2 6) = \frac{6 \times 5}{2} = 15 ✓ (우연히 맞음) 하지만 (3 6) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3} = 40 (틀림)

✓ 좋은 예

(3 6) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 !} = \frac{120}{6} = 20

왜요? 분모는 반드시

r!

입니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 서로 다른 5권의 책 중 3권을 선택하여 책장에 순서대로 꽂는 경우의 수는?

① 60
② 10
③ 20
④ 120

정답 ① 60

순서를 고려하므로 순열: ₅P₃ = 5×4×3 = 60. 첫 번째 칸 5가지, 두 번째 4가지, 세 번째 3가지를 곱합니다.

Q2 (x + 1)⁶을 전개할 때 x³의 계수는?

① 20
② 15
③ 10
④ 25

정답 ① 20

이항정리: (x+1)⁶의 일반항 = ₆Cₖ x^k · 1^(6-k). x³항은 k = 3일 때. ₆C₃ = 6!/(3!·3!) = 720/(6·6) = 20.

Q3 서로 다른 5개의 공을 3명에게 남김없이 나누어 줄 때, 각 사람이 적어도 1개씩 받는 경우의 수는?

① 180
② 90
③ 120
④ 150

정답 ④ 150

여사건(포함-배제 원리)으로 풉니다. 각 공을 3명 중 하나에게 주는 전체 경우의 수: 3⁵ = 243. 여사건은 '적어도 1명이 공을 못 받는' 경우입니다. [경우 A] 특정 1명이 비는 경우: C(3,1)·2⁵ = 3×32 = 96. [경우 B] 특정 2명이 비는 경우: C(3,2)·1⁵ = 3×1 = 3. 포함-배제 원리: 243 - 96 + 3 = 150.

Q4 서로 다른 4개에서 2개를 택하는 순열의 수 ₄P₂는?

① 24
② 6
③ 12
④ 8

정답 ③ 12

₄P₂ = 4 × 3 = 12입니다.

Q5 서로 다른 6개에서 2개를 택하는 조합의 수 ₆C₂는?

① 15
② 12
③ 36
④ 30

정답 ① 15

₆C₂ = (6×5)/(2×1) = 15입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

_{n} C_{0}

과

_{n} C_{n}

은 왜 1인가요?

\frac{n !}{0 ! \cdot n !} = 1

입니다. 아무것도 고르지 않거나 전부 고르는 방법은 각각 1가지입니다.

Q2이항정리에서 특정 항을 빠르게 구하는 방법은요?

(a + b)^{n}

의

r + 1

번째 항은

(r n) a^{n - r} b^{r}

입니다.

b^{r}

의 차수를 먼저 결정하세요.

_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}

은 왜 성립하나요?

r

개를 '고르는 것'은

n - r

개를 '남기는 것'과 같기 때문입니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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