화학 고3 물질의 세 가지 상태 심화

기체 운동론

Q: 절대 영도에서는 어떻게 되나요?

Ek = 32kT에 T = 0을 넣으면 평균 운동 에너지가 0이 됩니다. 고전적인 기체 운동론에서 절대 영도란 분자의 운동이 멈추는 온도이며, 온도에 아래쪽 한계가 있는 이유가 바로 이것입니다 — 운동 에너지는 음수가 될 수 없기 때문입니다.

기체 분자들의 무작위 운동으로 이상 기체 법칙을 미시적으로 유도하는 이론. 평균 운동 에너지 = (3/2)kT이며 맥스웰-볼츠만 분포로 속력 분포를 기술한다.

기체를 '무질서하게 날아다니며 벽에 부딪히는 수많은 알갱이'로 보고, 그 충돌로부터 압력과 온도, 나아가 이상 기체 법칙을 설명하는 이론입니다.

압력은 벽을 두드리는 빗방울의 세례와 같습니다. 빗방울 하나하나는 아주 약하지만 초당 수없이 부딪히면 꾸준한 힘으로 느껴집니다. 온도는 그 빗방울이 얼마나 세게 날아오는가를 나타냅니다.

쉽게 말하면

기체 운동론은 몇 가지 과감한 가정에서 출발합니다. 기체 분자는 크기를 무시할 만큼 작고, 서로 힘을 주고받지 않으며, 끊임없이 무작위로 직진하다가 벽이나 다른 분자와 완전 탄성 충돌을 합니다. 이 단순한 그림만으로 실험식이던 이상 기체 법칙을 유도해 낼 수 있다는 것이 이 이론의 힘입니다.

압력의 정체가 먼저 드러납니다. 벽에 부딪힌 분자는 방향을 바꾸며 벽에 아주 작은 충격을 주는데, 이런 충돌이 초당 수없이 일어나 평균적으로 일정한 힘이 됩니다. 부피를 절반으로 줄이면 같은 수의 분자가 더 자주 벽을 때리므로 압력이 두 배가 됩니다 — 보일 법칙이 그림 하나로 설명됩니다.

가장 중요한 결론은 온도의 의미입니다. 계산을 끝내면 분자 하나의 평균 운동 에너지가 절대 온도에만 비례한다는 결과가 나옵니다.

$\overline{E_{k}} = \frac{3}{2} k T, u_{r m s} = \frac{3 R T}{M}$

즉 온도는 분자의 평균 운동 에너지를 재는 눈금입니다. 여기서 결정적인 사실이 따라 나옵니다. 같은 온도라면 어떤 기체든 평균 운동 에너지가 같으므로, 무거운 분자( $M$ 이 큰)일수록 느리게 움직여야 합니다. 속력이 질량의 제곱근에 반비례하는 이 관계가 그레이엄 확산 법칙의 뿌리입니다.

한편 모든 분자가 똑같은 속력으로 달리는 것은 아닙니다. 충돌로 에너지를 주고받으며 아주 느린 분자부터 아주 빠른 분자까지 넓게 퍼진 분포(맥스웰-볼츠만 분포)를 이룹니다. 온도를 올리면 이 분포의 봉우리가 오른쪽으로 옮겨 가면서 낮고 넓어지고, 오른쪽 꼬리 — 활성화 에너지를 넘길 만큼 빠른 분자들 — 가 급격히 두꺼워집니다. 온도를 조금만 올려도 반응이 훨씬 빨라지는 이유가 바로 이 꼬리에 있습니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

같은 온도의 수소와 산소

$25^{\circ} C$ 의 $H_{2}$ 와 $O_{2}$ 는 분자 하나의 평균 운동 에너지가 정확히 같습니다. 그런데 $O_{2}$ 가 $16$ 배 무거우므로( $2$ 대 $32$ ), 속력은 $16 = 4$ 배 차이가 납니다. 수소 분자가 산소 분자보다 평균 $4$ 배 빠르게 날아다닙니다.
예시 2

온도를 올려도 속력은 그만큼 빨라지지 않는다

$u_{r m s} \propto T$

절대 온도를 $2$ 배로 올리면 평균 운동 에너지는 정확히 $2$ 배가 되지만, 속력은 $2 \approx 1.41$ 배밖에 빨라지지 않습니다. 운동 에너지가 속력의 제곱에 비례하기 때문입니다.
예시 3

맥스웰-볼츠만 분포의 꼬리

분자 속력 분포 곡선에서 오른쪽 끝의 얇은 꼬리는 유난히 빠른 소수의 분자들입니다. 반응이 일어나려면 활성화 에너지를 넘겨야 하는데, 그 자격을 갖춘 것이 바로 이 꼬리에 있는 분자들입니다. 온도를 조금 올리면 평균 속력은 조금 오르지만 이 꼬리의 넓이는 훨씬 크게 늘어나, 반응 속도가 급격히 빨라집니다.

자주 하는 오해

온도가 2배가 되면 분자 속력도 2배가 된다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움절대 온도를

300 K

에서

600 K

로 올렸으니 분자도

2

배 빨라진다

실제로는

2

배가 되는 것은 평균 운동 에너지입니다. 속력은

2 \approx 1.41

배가 됩니다.

온도에 정비례하는 것은

\overline{E_{k}} = \frac{3}{2} k T

, 즉 에너지입니다. 그런데 운동 에너지는

\frac{1}{2} m u^{2}

처럼 속력의 제곱에 비례하므로, 에너지가

2

배면 속력은 제곱근만큼만 커집니다. '온도 = 속력'이 아니라 '온도 = 운동 에너지'라고 새겨 두면 이 실수를 피할 수 있습니다.

같은 온도면 모든 기체 분자가 같은 속력으로 움직인다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움온도가 같으니 헬륨이든 이산화 탄소든 똑같은 빠르기로 날아다닌다

실제로는같은 것은 평균 운동 에너지이고, 속력은 다릅니다. 가벼운 분자일수록 빠릅니다.

\frac{1}{2} M u^{2}

이 같아야 하므로

M

이 크면

u

가 작아질 수밖에 없습니다. 같은 운동장에서 몸무게가 다른 두 사람이 같은 운동 에너지를 가지려면 가벼운 쪽이 더 빨리 달려야 하는 것과 같습니다. 덧붙여 같은 기체 안에서도 모든 분자가 같은 속력인 것은 아닙니다 — 넓은 분포를 이루며, 우리가 말하는 것은 언제나 '평균'입니다.