플랑크 상수 h를 2로 나눈 값이고, 흔히 '디랙 상수' 또는 '환산 플랑크 상수'라고 부릅니다. 각도나 회전이 관련된 식에서 2가 반복해서 나오기 때문에 아예 묶어 둔 것입니다.

물리학 고3 양자와 미시세계 심화

불확정성 원리

Q: 위치와 운동량 말고 다른 짝에도 적용되나요?

네. 에너지와 시간 사이에 E t /2가 성립하고, 스핀의 서로 다른 축 성분 사이에도 비슷한 제한이 있습니다. 다만 위치와 y 방향 운동량처럼 서로 무관한 짝은 동시에 정확히 알 수 있습니다.

하이젠베르크의 불확정성 원리(ΔxΔp ≥ ħ/2)에 따라 위치와 운동량을 동시에 정밀하게 알 수 없음을 이해한다.

입자의 위치와 운동량은 동시에 임의로 정밀하게 확정될 수 없고, 두 불확정성의 곱이

Δ x Δ p \geq ℏ/2

아래로는 내려갈 수 없다는 원리입니다.

짧게 '딱' 치는 소리는 언제 났는지는 정확하지만 음높이가 뭐라고 말하기 어렵고, 길게 늘어지는 순음은 음높이는 또렷하지만 언제 시작했는지 흐릿합니다. 위치와 운동량도 같은 관계입니다 — 파동으로 기술하는 한 둘 다 또렷할 수는 없습니다.

쉽게 말하면

불확정성 원리는 측정 기계의 한계가 아닙니다. 파동함수와 확률 해석을 받아들인 순간 따라 나오는 파동의 성질입니다. 위치가 좁은 영역에 뭉친 파동을 만들려면 파장이 서로 다른 파동을 여러 개 겹쳐야 하는데, 양자역학 기초에서 본 물질파 관계 $λ = h / p$ 에 따라 파장이 여러 개 섞였다는 것은 곧 운동량이 여러 값에 퍼져 있다는 뜻입니다. 위치를 좁힐수록 운동량이 퍼지는 것이 수학적으로 강제됩니다.

$Δ x Δ p_{x} \geq \frac{ℏ}{2}, ℏ = \frac{h}{2 π}$

에너지와 시간 사이에도 같은 꼴의 관계 $Δ E Δ t \geq ℏ/2$ 가 성립합니다. 아주 짧은 시간 동안만 존재하는 상태는 에너지가 하나로 정해지지 않는다는 뜻이고, 이것이 불안정한 입자나 들뜬 원자의 에너지 준위에 폭이 생기는 이유입니다.

주의할 것은 $ℏ$ 가 $1 0^{- 34}$ 규모로 극단적으로 작다는 점입니다. 야구공의 위치를 원자 크기만큼 좁혀도 그에 따른 속도의 불확정성은 측정할 수 없을 만큼 작습니다. 일상에서 이 원리가 보이지 않는 이유는 원리가 적용되지 않아서가 아니라, 그 한계가 너무 헐거워서입니다.

이 원리는 금지 조항으로만 쓰이지 않습니다. 전자가 핵으로 떨어지지 못하는 이유도, 입자가 벽을 넘어가는 터널 효과가 가능한 이유도 결국 여기서 나옵니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

전자가 원자핵으로 떨어지지 않는 이유

전자가 핵에 딱 붙는다면 $Δ x$ 가 핵 크기만큼 작아지고, 그러면 $Δ p$ 가 엄청나게 커져 운동에너지가 폭발적으로 올라갑니다. 전기력이 끌어당겨 얻는 이득보다 그 운동에너지 손해가 더 큽니다. 그래서 전자는 어느 정도 퍼진 채로 머무는 것이 에너지적으로 유리하고, 그 타협점이 바로 원자의 크기입니다.
예시 2

슬릿을 좁힐수록 회절이 넓게 퍼지는 것

슬릿을 지나는 순간 전자의 위치가 슬릿 폭만큼으로 좁혀집니다( $Δ x$ 감소). 그러면 슬릿에 수직인 방향의 운동량이 그만큼 퍼져야 하므로( $Δ p$ 증가) 화면에 도달하는 각도가 넓어집니다. 슬릿을 좁힐수록 무늬가 넓게 번지는 것은 이 원리를 눈으로 보는 것과 같습니다.
예시 3

에너지 준위의 폭

$Δ E Δ t \geq \frac{ℏ}{2}$

들뜬 원자가 오래 버틸수록( $Δ t$ 큼) 방출하는 빛의 에너지가 또렷하고( $Δ E$ 작음), 금방 붕괴하는 상태일수록 방출선의 폭이 넓어집니다. 스펙트럼 선의 굵기 자체가 그 상태의 수명을 알려 주는 셈입니다.

자주 하는 오해

'재려고 건드리니까 흐트러진다'로 이해하기

이렇게 생각하기 쉬움전자를 보려면 빛을 쏴야 하는데, 그 빛이 전자를 밀어 버려서 정확히 못 잰다

실제로는측정으로 건드리는 효과가 실제로 있긴 하지만, 불확정성 원리는 측정하기 '전'에도 성립하는 상태 자체의 성질입니다.

아무도 건드리지 않은 자유로운 전자도 위치와 운동량이 동시에 확정된 파동함수를 가질 수 없습니다. 이 원리는 '재는 행위의 방해'가 아니라 '파동으로 기술되는 것에는 위치와 파장을 동시에 못 박을 수 없다'는 수학적 사실에서 나옵니다. 아무리 부드러운 측정법을 발명해도 이 한계는 내려가지 않습니다.

Δ x

와

Δ p

를 측정 오차로 읽기

이렇게 생각하기 쉬움

Δ x

는 자의 눈금이 못 읽는 정도,

Δ p

는 계측기의 오차 범위다

실제로는

Δ x

Δ p

는 같은 상태를 여러 번 준비해 재었을 때 결과가 흩어지는 폭입니다. 기계가 완벽해도 남아 있는 흩어짐입니다.

완벽한 계측기로 똑같이 준비한 전자 1000개의 위치를 재면 값들이 어떤 폭으로 퍼져 나옵니다. 그 폭이

Δ x

입니다. 즉 오차가 아니라 자연이 갖고 있는 흩어짐이고, 그래서 기술로 없앨 수 있는 종류의 것이 아닙니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

양자역학 기초고3

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

터널 효과고3

같은 단원의 개념 — 양자와 미시세계

반감기고3 방사성 붕괴고3 슈뢰딩거 방정식 (개념)고3 스핀고3 양자 기술 응용고3 양자 얽힘고3 양자역학 기초고3 원자핵 구조고3 중첩 (양자 중첩)고3 질량 결손과 핵결합 에너지고3 초전도고3 터널 효과고3 파동함수와 확률 해석고3 핵물리와 방사능고3 핵분열고3 핵융합고3

자주 묻는 질문

Q1위치와 운동량 말고 다른 짝에도 적용되나요?

네. 에너지와 시간 사이에

Δ E Δ t \geq ℏ/2

가 성립하고, 스핀의 서로 다른 축 성분 사이에도 비슷한 제한이 있습니다. 다만 위치와

y

방향 운동량처럼 서로 무관한 짝은 동시에 정확히 알 수 있습니다.

Q2그럼 미래를 예측하는 것이 불가능해진 건가요?

파동함수 자체는 슈뢰딩거 방정식에 따라 완벽하게 결정론적으로 변합니다. 예측할 수 없는 것은 측정 결과 하나하나이고, 각 결과가 나올 확률은 정확히 계산됩니다.

ℏ

는 무엇인가요?

플랑크 상수

h

를

2 π

로 나눈 값이고, 흔히 '디랙 상수' 또는 '환산 플랑크 상수'라고 부릅니다. 각도나 회전이 관련된 식에서

2 π

가 반복해서 나오기 때문에 아예 묶어 둔 것입니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 양자와 미시세계 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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