물리학 고3 양자와 미시세계 심화

질량 결손과 핵결합 에너지

핵자들을 결합시키는 에너지에 해당하는 질량 결손(Δm)과 결합 에너지(E=Δmc²)를 핵분열·핵융합 에너지와 연결한다.

원자핵의 질량은 그것을 이루는 핵자들의 질량을 따로 더한 값보다 작으며, 그 차이

Δ m

(질량 결손)에 해당하는 에너지

E = Δ m c^{2}

가 핵을 붙들고 있는 결합 에너지입니다.

핵자들을 뭉치면 에너지가 밖으로 빠져나가고, 빠져나간 에너지만큼 질량이 줄어듭니다. 다시 떼어 놓으려면 그 에너지를 도로 넣어야 합니다 — 질량 결손은 '이 핵이 얼마나 단단히 묶여 있는가'의 영수증입니다.

쉽게 말하면

핵자 하나하나의 질량을 재서 더한 값과, 그 핵자들이 뭉쳐 만든 핵의 질량을 재서 비교하면 후자가 더 작습니다. 사라진 질량이 질량 결손 $Δ m$ 입니다.

$Δ m = (Z m_{p} + N m_{n}) - M_{핵}, E_{b} = Δ m c^{2}$

질량-에너지 등가에 따르면 질량과 에너지는 같은 것의 두 이름입니다. 핵자들이 뭉칠 때 결합 에너지 $E_{b}$ 만큼이 밖으로 방출되었고, 방출된 에너지만큼 계의 질량이 줄어든 것입니다. 반대로 이 핵을 낱낱의 핵자로 분해하려면 정확히 $E_{b}$ 를 넣어 줘야 합니다. $c^{2}$ 이 워낙 큰 수라, 눈에 띄지도 않을 만큼 작은 질량 차이가 어마어마한 에너지가 됩니다.

핵끼리 비교하려면 결합 에너지 총량보다 핵자당 결합 에너지 $E_{b} / A$ 를 봐야 합니다. 이것이 그 핵이 얼마나 단단한지를 나타내는 척도입니다. 질량수에 대해 그리면 철 부근에서 봉우리를 이루는 곡선이 나옵니다.

이 곡선 하나가 핵에너지의 전부를 설명합니다. 반응 후 핵자당 결합 에너지가 커지는 방향, 즉 봉우리 쪽으로 가는 반응에서만 에너지가 나옵니다. 봉우리 오른쪽의 무거운 핵은 쪼개져야(핵분열), 왼쪽의 가벼운 핵은 합쳐져야(핵융합) 봉우리에 가까워집니다. 별이 빛나는 것도, 결국 철에서 멈추는 것도 이 곡선 때문입니다 — 별의 에너지원(핵융합)과 이어집니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

$c^{2}$ 이 얼마나 큰가

$E = Δ m c^{2}, c \approx 3 \times 1 0^{8} m/s$

$c^{2}$ 이 $1 0^{17}$ 규모이므로, 아주 작은 질량이라도 곱하면 거대한 에너지가 됩니다. 핵반응에서 실제로 질량으로 사라지는 비율은 전체의 1%도 안 되지만, 그것만으로 화학 반응의 백만 배 에너지가 나옵니다.
예시 2

핵자당 결합 에너지 곡선 읽는 법

가벼운 쪽에서는 핵자를 보탤수록 이웃이 늘어 급격히 단단해지므로 곡선이 가파르게 올라갑니다. 그러다 철 부근에서 봉우리를 지나고, 그 뒤로는 양성자 사이의 전기적 반발이 누적되어 서서히 내려갑니다. 오르막에 있는 핵은 합쳐지고 싶어 하고, 내리막에 있는 핵은 쪼개지고 싶어 합니다.
예시 3

핵반응에서 에너지가 나온다는 것의 뜻

반응 전 입자들의 질량 합보다 반응 후 질량 합이 작으면, 그 차이가 에너지로 방출됩니다. 즉 핵반응식을 놓고 양변의 질량을 비교하는 것만으로 에너지가 나올 반응인지 아닌지 판정할 수 있습니다. 방출 에너지 $= (반응 전 질량 - 반응 후 질량) \times c^{2}$ 입니다.

자주 하는 오해

결합 에너지를 '핵이 갖고 있는 에너지'로 이해하기

이렇게 생각하기 쉬움결합 에너지가 큰 핵일수록 에너지를 많이 품고 있으니 불안정하고 잘 터진다

실제로는결합 에너지는 핵을 '분해하는 데 필요한' 에너지입니다. 클수록 오히려 더 단단하고 안정합니다.

부호를 뒤집어 생각하면 명확합니다. 핵자들이 뭉칠 때 에너지가 방출되었으므로, 뭉친 상태는 흩어진 상태보다 에너지가 '낮습니다'. 결합 에너지가 크다는 것은 그만큼 깊은 골짜기에 빠져 있다는 뜻이고, 빠져나오기 어렵다는 뜻입니다. 그래서 곡선의 봉우리(철)가 가장 안정한 핵입니다.

총 결합 에너지가 큰 핵이 더 안정하다고 비교하기

이렇게 생각하기 쉬움우라늄은 핵자가 많아 총 결합 에너지가 크니 철보다 안정하다

실제로는핵끼리 안정성을 비교할 때는 총량이 아니라 핵자당 결합 에너지를 봐야 합니다.

핵자가 많으면 총 결합 에너지는 당연히 커집니다. 하지만 '핵자 하나가 얼마나 세게 붙잡혀 있는가'를 물어야 쪼갤지 합칠지가 판정됩니다. 우라늄은 총량은 크지만 핵자당으로는 철보다 낮아서, 쪼개면 핵자당 결합 에너지가 올라가고 그 차이가 에너지로 나옵니다.