물리학 고3 양자와 미시세계 심화

파동함수와 확률 해석

Q: 파동함수는 우리가 만든 계산 도구인가요, 실재하는 것인가요?

물리학자들 사이에서도 해석이 갈리는 문제입니다. 다만 어느 해석을 택하든 ||2으로 확률을 계산하는 방법과 그 예측값은 똑같고, 지금까지 실험은 모두 그 예측과 맞았습니다.

양자역학에서 입자의 상태를 기술하는 파동함수 Ψ의 절댓값 제곱(|Ψ|²)이 입자가 발견될 확률 밀도임을 이해한다.

양자역학에서 입자의 상태를 나타내는 함수

Ψ

이며, 그 절댓값의 제곱

∣Ψ ∣^{2}

이 그 자리에서 입자가 발견될 확률 밀도입니다.

Ψ

는 안개 사진이 아니라 '확률 지도의 원본 파일'입니다. 눈에 보이는 것은 제곱해서 얻은 확률뿐이고, 원본

Ψ

자체는 음수나 복소수까지 될 수 있습니다 — 그래서 두 개가 겹치면 서로 상쇄되어 간섭무늬가 생깁니다.

쉽게 말하면

양자역학 기초에서 입자의 상태를 위치와 속도로 못 박을 수 없다는 것을 봤습니다. 그 대신 쓰는 것이 파동함수 $Ψ (x, t)$ 입니다. 하지만 $Ψ$ 자체는 물결의 높이 같은 물리량이 아닙니다. 복소수 값을 갖기 때문에 실험실에서 직접 잴 수 있는 것이 아닙니다.

실험과 이어지는 것은 그 절댓값의 제곱입니다.

$P (x) d x = ∣Ψ (x, t) ∣^{2} d x$

$x$ 와 $x + d x$ 사이에서 입자를 발견할 확률이 $∣Ψ ∣^{2} d x$ 라는 뜻입니다. $∣Ψ ∣^{2}$ 은 확률 자체가 아니라 확률 '밀도'이므로, 확률을 구하려면 구간에 대해 넓이를 재야 합니다. 입자가 어디엔가는 반드시 있으므로 전 공간에서 더하면 1이 되어야 하고(규격화), 이 조건이 나중에 에너지가 불연속이 되는 이유가 됩니다.

$Ψ$ 를 그냥 제곱하지 않고 절댓값을 제곱하는 것이 핵심입니다. $Ψ$ 가 음수·복소수 값을 가질 수 있기 때문에 두 경로의 $Ψ$ 가 만나면 더해져 커지기도 하고 상쇄되어 0이 되기도 합니다. 확률을 먼저 더하는 것이 아니라 $Ψ$ 를 먼저 더한 뒤 제곱한다 — 이 순서 하나가 이중 슬릿의 간섭무늬를 만듭니다. 이것이 중첩의 수학적 정체입니다.

$Ψ$ 가 시간에 따라 어떻게 변하는지는 슈뢰딩거 방정식이 정합니다. 그 방정식을 원자에 풀면 나오는 것이 화학에서 배우는 오비탈입니다 — 오비탈 그림의 구름은 곧 전자의 $∣Ψ ∣^{2}$ 입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

오비탈은 전자의 궤도가 아니다

$1 s$ 오비탈 그림의 뿌연 공은 전자가 지나간 자취가 아니라 $∣Ψ ∣^{2}$ 이 큰 영역, 즉 전자를 발견할 확률이 높은 영역입니다. 보통 그 안에서 전자를 발견할 확률이 90% 정도가 되도록 경계를 그립니다. 전자는 그 안을 '돌고' 있는 것이 아니라, 측정하면 그 안 어딘가에서 발견됩니다.
예시 2

마디(node) — 확률이 정확히 0인 자리

높은 에너지 상태의 파동함수에는 $Ψ = 0$ 이 되는 지점이 생깁니다. 그 자리에서는 전자가 절대 발견되지 않습니다. 기타 줄의 정상파에 진동하지 않는 마디가 있는 것과 같은 이유로, 파동함수도 경계 조건에 맞는 모양만 허용되기 때문에 마디가 생깁니다.
예시 3

간섭무늬가 '더하고 제곱'에서 나오는 이유

$∣ Ψ_{1} + Ψ_{2} ∣^{2} \neq = ∣ Ψ_{1} ∣^{2} + ∣ Ψ_{2} ∣^{2}$

왼쪽은 두 슬릿이 다 열렸을 때 실제로 관측되는 무늬이고, 오른쪽은 '전자가 둘 중 한쪽을 지났다'고 가정했을 때 나와야 할 무늬입니다. 실험 결과는 왼쪽입니다. 두 값의 차이가 바로 간섭 항이고, 이것이 밝고 어두운 줄무늬로 나타납니다.

자주 하는 오해

∣Ψ ∣^{2}

을 '전자가 퍼져 있는 밀도'로 읽기

이렇게 생각하기 쉬움전자가 구름처럼 뭉개져서 공간에 조금씩 나뉘어 존재한다

실제로는

∣Ψ ∣^{2}

은 '전자가 여기서 발견될 확률'이지, '전자의 몇 %가 여기 있다'가 아닙니다.

측정하면 전자는 언제나 한 곳에서 통째로 발견됩니다. 반쪽짜리 전자가 검출된 적은 없습니다. 퍼져 있는 것은 전자라는 물질이 아니라 그 결과의 확률입니다.

Ψ

자체를 직접 잴 수 있는 물리량으로 여기기

이렇게 생각하기 쉬움파동함수의 값

Ψ (x)

가 크면 그만큼 전자가 세게 있는 것이다

실제로는

Ψ

는 복소수라 크고 작음을 따질 수도 없고, 계측기에 잡히지도 않습니다. 실험과 이어지는 것은 오직

∣Ψ ∣^{2}

입니다.

Ψ

의 부호와 위상은 그 자체로는 관측되지 않지만, 두 파동함수가 겹칠 때 강해질지 상쇄될지를 결정합니다. 혼자 있을 때는 안 보이고 만났을 때만 드러나는 정보 — 그래서

Ψ

를 '숨은 실체'가 아니라 '상태를 계산하는 도구'로 다뤄야 합니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

양자역학 기초고3

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

슈뢰딩거 방정식 (개념)고3 중첩 (양자 중첩)고3

연계 개념 — 과목을 넘어 함께 보면 좋아요

오비탈고2

같은 단원의 개념 — 양자와 미시세계

반감기고3 방사성 붕괴고3 불확정성 원리고3 슈뢰딩거 방정식 (개념)고3 스핀고3 양자 기술 응용고3 양자 얽힘고3 양자역학 기초고3 원자핵 구조고3 중첩 (양자 중첩)고3 질량 결손과 핵결합 에너지고3 초전도고3 터널 효과고3 핵물리와 방사능고3 핵분열고3 핵융합고3

자주 묻는 질문

Q1규격화 조건은 왜 필요한가요?

확률을 전부 더하면 1이 되어야 하기 때문입니다. 그런데 이 조건과 경계 조건을 동시에 만족하는

Ψ

는 아무 에너지에서나 존재하지 않습니다. 특정 에너지 값에서만 해가 살아남고, 그것이 바로 에너지가 계단처럼 불연속이 되는 이유입니다.

Q2측정하면 파동함수는 어떻게 되나요?

측정 직후에는 관측된 결과에 해당하는 상태로 좁혀집니다(붕괴). 전자를 한 점에서 발견했다면 그 직후의 파동함수는 그 근처에 몰려 있습니다. 그래서 곧바로 다시 재면 같은 곳에서 나옵니다.

Q3파동함수는 우리가 만든 계산 도구인가요, 실재하는 것인가요?

물리학자들 사이에서도 해석이 갈리는 문제입니다. 다만 어느 해석을 택하든

∣Ψ ∣^{2}

으로 확률을 계산하는 방법과 그 예측값은 똑같고, 지금까지 실험은 모두 그 예측과 맞았습니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 양자와 미시세계 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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