물리학 고3 탄성파와 소리

단진자

줄에 매달린 추가 중력을 복원력으로 단순 조화 운동 하는 단진자의 주기(T=2π√(L/g))를 이해한다.

가벼운 줄에 매단 추가 중력의 한 성분을 복원력으로 삼아 좌우로 왕복하는 진자로, 진폭이 작을 때 주기가

T = 2 π L / g

입니다.

진자의 주기를 정하는 것은 줄의 길이와 중력뿐입니다. 무거운 추로 바꿔도, 조금 더 크게 밀어도 시계는 같은 박자를 유지합니다 — 진자시계가 존재할 수 있는 이유입니다.

쉽게 말하면

단진자는 단순 조화 운동의 조건을 중력이 만들어 주는 경우입니다. 줄이 연직선과 $θ$ 만큼 기울어져 있을 때, 추에 작용하는 중력 $m g$ 를 줄 방향과 운동 방향으로 나누면 운동 방향 성분은 $- m g sin θ$ 입니다. 줄 방향 성분은 장력과 상쇄되어 운동에는 기여하지 않습니다.

호를 따라 잰 변위를 $x = L θ$ 라 하면, $θ$ 가 작을 때 $sin θ \approx θ$ 이므로

$F \approx - m g θ = - \frac{m g}{L} x$

가 됩니다. $F = - k x$ 꼴이고 $k = \frac{m g}{L}$ 입니다. 이것을 $T = 2 π m / k$ 에 넣으면 질량 $m$ 이 약분되어

$T = 2 π \frac{L}{g}$

가 나옵니다. 주기에 질량도 진폭도 없습니다. 질량이 사라지는 이유는 자유 낙하에서와 같습니다 — 무거운 추는 중력을 더 크게 받지만 그만큼 관성도 커서 서로 상쇄됩니다.

단, 이 결과는 $sin θ \approx θ$ 근사를 쓴 것이라 진폭이 작을 때만 성립합니다. 크게 흔들면 실제 주기는 이 값보다 조금 길어집니다. 교과서가 '진폭이 작은 경우'라는 단서를 항상 붙이는 이유입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

줄 길이를 4배로 늘리면

$T = 2 π \frac{L}{g} \Rightarrow T^{'} = 2 π \frac{4 L}{g} = 2 T$

주기는 길이의 제곱근에 비례하므로 4배 길게 해야 주기가 2배가 됩니다. 2배로 늘리면 주기는 약 1.41배밖에 늘지 않습니다.
예시 2

진자로 중력 가속도를 재기

$T = 2 π \frac{L}{g} \Rightarrow g = \frac{4 π ^{2} L}{T ^{2}}$

줄 길이 $L$ 을 자로 재고 주기 $T$ 를 초시계로 재면 $g$ 가 나옵니다. 1회 왕복만 재면 오차가 크므로 보통 20회쯤 왕복하는 시간을 재서 나눕니다.
예시 3

달에 가져간 진자시계

달의 중력 가속도는 지구의 약 6분의 1입니다. $T \propto 1/ g$ 이므로 같은 진자의 주기가 약 $6 \approx 2.4$ 배 길어집니다. 지구에서 맞춰 온 진자시계를 달에 놓으면 시간이 한참 느리게 갑니다.

순서대로 하면

단진자 주기 측정 실험 순서

1줄의 매단 점에서 추의 중심까지의 길이를 $L$ 로 잽니다. 줄 끝까지가 아닙니다.
2진폭을 작게(대략 5° 안팎) 하여 한쪽으로 당겼다가 살짝 놓습니다. 밀지 않습니다.
3왕복 10~20회에 걸린 시간을 재고 횟수로 나누어 주기 $T$ 를 구합니다.
4 $L$ 을 바꿔 가며 반복한 뒤, $T^{2}$ 을 $L$ 에 대해 그래프로 그리면 기울기가 $4 π^{2} / g$ 인 직선이 됩니다.

자주 하는 오해

추가 무거울수록 주기가 길어진다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움무거운 추는 움직이기 어려우니 천천히 흔들리고, 주기가 길어질 것이다

실제로는주기는

T = 2 π L / g

로 질량과 무관합니다. 추를 바꿔도 박자는 그대로입니다.

복원력

m g sin θ

가 질량에 비례해 커지지만, 같은 질량이 관성으로도 작용해

a = F / m

에서 약분됩니다. 자유 낙하에서 무게와 상관없이 같이 떨어지는 것과 정확히 같은 이유입니다.

T = 2 π L / g

가 언제나 맞는다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움진폭을 90°로 크게 흔들어도 이 공식으로 주기를 구하면 된다

실제로는이 공식은 진폭이 작을 때만 성립하는 근삿값입니다. 크게 흔들면 실제 주기는 이보다 길어집니다.

유도 과정에서

sin θ \approx θ

를 썼기 때문입니다.

θ

가 커지면

sin θ

가

θ

보다 작아져 복원력이 예상보다 약해지고, 그만큼 왕복이 느려집니다. 단진자가 '진짜' 단순 조화 운동인 것이 아니라, 작은 진폭에서만 그렇게 보이는 것입니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

단순 조화 운동고3

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

같은 단원의 개념 — 탄성파와 소리

공명과 맥놀이고3 단순 조화 운동고3 도플러 효과고3 용수철 진자고3 음파와 소리고3 정상파와 공명고3 진폭·파장·진동수·주기고3 파동의 간섭과 회절고3 파동의 반사·굴절·전반사고3 파동의 성질고3 편광고3 횡파와 종파고3

자주 묻는 질문

Q1줄의 무게는 왜 무시하나요?

'단진자'라는 모형 자체가 질량이 없는 줄에 점 질량이 달린 이상적인 계이기 때문입니다. 실제 실험에서는 추에 비해 줄이 충분히 가벼우면 오차가 작습니다. 줄의 질량이 무시할 수 없을 만큼 크면 주기가 이 공식과 어긋나기 시작합니다.

Q2진자의 속력이 가장 빠른 지점은 어디인가요?

가장 아래, 즉 평형점입니다. 최고점에서는 속력이 0이고 위치 에너지가 최대, 최저점에서는 위치 에너지가 최소이고 운동 에너지가 최대입니다. 반대로 복원력과 가속도의 크기는 양 끝에서 가장 큽니다.

Q3그네도 단진자인가요?

가만히 놔둔 그네는 단진자와 비슷하게 움직입니다. 다만 사람이 발을 굴러 주면 외부에서 계속 에너지를 넣는 것이라 진폭이 커지고, 단진자 모형에서 벗어납니다. 이때 그네의 고유 주기에 맞춰 굴러야 잘 커지는데, 이것이 공명입니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 탄성파와 소리 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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복원력을 중력 대신 용수철이 만들면 어떻게 되는지 용수철 진자에서 비교해 보세요 — 그쪽은 주기에 질량이 남습니다.

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