물리학 고3 탄성파와 소리

도플러 효과

Q: 파원이 정지해 있고 관측자만 움직여도 도플러 효과가 생기나요?

네. 다만 이때는 파장이 변하지 않고, 관측자가 1초 동안 만나는 마루의 개수가 달라져 진동수가 바뀝니다. 결과는 비슷해도 메커니즘이 다르기 때문에 공식의 분자와 분모에 각각 들어가는 것입니다.

Q: 옆으로 지나가는 순간에는 어떻게 들리나요?

관측자를 향해 다가오지도 멀어지지도 않는 순간이므로, 이때는 원래 진동수 f0에 가장 가깝게 들립니다. 도플러 효과는 파원이나 관측자의 속도 중 둘을 잇는 방향 성분에만 반응합니다.

Q: 빛에도 같은 공식을 쓰나요?

정성적인 결론(가까워지면 파장이 짧아져 청색 쪽으로, 멀어지면 길어져 붉은 쪽으로)은 같지만, 빛은 매질이 없고 속력이 모든 관측자에게 같으므로 정확한 식은 다릅니다. 다만 속도가 빛보다 훨씬 느린 경우에는 소리와 비슷한 형태로 근사할 수 있습니다.

파원이나 관측자가 이동할 때 관측 진동수가 변하는 도플러 효과를 공식으로 유도하고 적용한다.

파원이나 관측자가 움직일 때, 파원이 실제로 내는 진동수와 관측자가 듣는 진동수가 달라지는 현상입니다.

구급차가 다가올 때는 사이렌이 높게, 지나가면 뚝 떨어져 낮게 들립니다. 사이렌 자체는 아무것도 바꾸지 않았습니다 — 파동이 앞쪽에서는 촘촘하게, 뒤쪽에서는 성기게 쌓이기 때문입니다.

쉽게 말하면

파동의 성질에서 파동의 속력 $v$ 는 매질이 정한다고 했습니다. 파원이 움직여도 이미 공기 중에 나간 파동은 여전히 같은 음속으로 퍼집니다. 그런데 파원이 앞으로 달리면서 다음 마루를 내보내면, 그 마루는 앞선 마루가 있는 쪽에 조금 더 가까이서 출발합니다. 그래서 앞쪽에서는 마루 사이의 간격(파장)이 좁아지고, 뒤쪽에서는 넓어집니다. 파장이 좁아진 쪽에서는 $f = v / λ$ 가 커져 높은 소리로, 넓어진 쪽에서는 낮은 소리로 들립니다.

관측자가 움직일 때는 사정이 조금 다릅니다. 파장은 그대로인데, 관측자가 파동 쪽으로 달려가면 마루를 1초에 더 많이 만나게 되므로 진동수가 커집니다. 파원이 움직이면 파장이 바뀌고, 관측자가 움직이면 만나는 횟수가 바뀝니다. 결과는 비슷하지만 원인이 다릅니다.

음속을 $v$ , 파원의 속력을 $v_{s}$ , 관측자의 속력을 $v_{o}$ , 파원의 원래 진동수를 $f_{0}$ 라 하면 관측 진동수는

$f = f_{0} \cdot \frac{v \pm v _{o}}{v \mp v _{s}}$

입니다. 부호는 외우기보다 '가까워지면 진동수는 커진다'는 결론으로 검산하세요. 관측자가 다가가면 분자가 커지고, 파원이 다가오면 분모가 작아집니다 — 두 경우 모두 $f$ 가 커집니다.

이 현상은 소리에만 국한되지 않습니다. 빛에서도 일어나서, 멀어지는 별의 빛은 파장이 길어져 붉은 쪽으로 치우칩니다. 이것이 적색 이동이고, 여기서 허블 법칙과 시선 속도법(도플러법)이 나옵니다. 우주가 팽창한다는 증거도, 눈에 보이지 않는 외계 행성을 찾아내는 방법도 결국 이 도플러 효과입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

다가오는 구급차의 사이렌

$f = f_{0} \cdot \frac{v}{v - v _{s}} > f_{0}$

관측자는 정지( $v_{o} = 0$ )해 있고 파원이 다가오면 분모가 작아져 $f > f_{0}$ 입니다. 지나가는 순간 부호가 뒤집혀 $f = f_{0} \cdot \frac{v}{v + v _{s}} < f_{0}$ 가 되므로, 그 찰나에 음이 뚝 떨어집니다.
예시 2

스피드 건

달리는 차에 전파를 쏘면 차가 그 전파를 반사하는데, 다가오는 차가 반사한 전파는 진동수가 높아진 채 돌아옵니다. 쏜 진동수와 돌아온 진동수의 차이를 재면 차의 속력을 알 수 있습니다.
예시 3

별빛의 적색 이동

멀어지는 은하에서 온 빛은 파장이 길어져 스펙트럼선이 붉은 쪽으로 밀립니다. 이 이동량으로 은하가 얼마나 빨리 멀어지는지 알 수 있고, 이것이 허블 법칙의 관측적 근거가 되었습니다.

순서대로 하면

도플러 효과 문제 푸는 순서

1누가 움직이는지 확인합니다 — 파원인지, 관측자인지, 둘 다인지.
2가까워지는 중인지 멀어지는 중인지를 먼저 판단해, 답이 $f_{0}$ 보다 커야 하는지 작아야 하는지를 정해 둡니다.
3 $f = f_{0} \frac{v \pm v _{o}}{v \mp v _{s}}$ 에 대입하되, 2단계에서 정한 방향이 나오도록 부호를 고릅니다.
4계산 결과가 2단계의 예상과 맞는지 확인합니다. 어긋나면 부호를 잘못 고른 것입니다.

자주 하는 오해

파원이 움직이면 소리의 속력도 빨라진다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움구급차가 앞으로 달리니까 앞으로 나가는 소리도 그만큼 더 빨라진다

실제로는음속은 매질(공기)이 정하므로 변하지 않습니다. 바뀌는 것은 파장입니다.

일단 공기 중으로 나간 파동은 파원이 무엇을 하든 상관없이 그 매질의 음속으로 퍼집니다. 파원이 달리면서 다음 마루를 앞쪽 더 가까운 자리에서 내보내기 때문에 마루 사이의 간격, 즉 파장이 좁아지는 것입니다. 소리가 빨라져서 높게 들리는 것이 아니라 파장이 짧아져서 높게 들립니다.

구급차가 다가오는 동안 소리가 점점 더 높아진다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움가까워질수록 음이 계속 높아지다가 옆을 지날 때 가장 높다

실제로는일정한 속력으로 다가오는 동안 관측 진동수는

f_{0} \frac{v}{v - v _{s}}

로 일정합니다. 옆을 지나 멀어지기 시작하는 순간 낮은 값으로 뚝 떨어집니다.

진동수를 정하는 것은 거리가 아니라 다가오는 속도입니다. 거리가 가까워지면 소리가 커질(진폭이 클) 뿐 음높이는 그대로입니다. 실제로 사이렌은 '서서히 높아지는 소리'가 아니라 '높은 음 — 뚝 — 낮은 음'으로 들립니다. 크기 변화와 높이 변화를 뒤섞지 않는 것이 핵심입니다.