물리학 고3 탄성파와 소리

용수철 진자

Q: 용수철 두 개를 이으면 주기가 어떻게 되나요?

직렬(길게 이어 붙이면)로 연결하면 더 잘 늘어나 유효 k가 작아지므로 주기가 길어지고, 병렬(나란히 매달면)로 연결하면 유효 k가 커져 주기가 짧아집니다. 어느 쪽이든 유효 k를 먼저 구한 뒤 같은 공식에 넣으면 됩니다.

Q: 진폭을 아주 크게 하면 어떻게 되나요?

후크 법칙이 성립하는 탄성 한계 안에서는 주기가 그대로입니다. 하지만 너무 크게 늘여 탄성 한계를 넘으면 F = -kx 자체가 깨져 단순 조화 운동이 아니게 되고, 용수철이 영구 변형됩니다.

용수철-질량 계의 주기(T=2π√(m/k))를 후크 법칙과 연결하여 유도하고 응용한다.

용수철에 매단 물체가 탄성력을 복원력으로 삼아 진동하는 계로, 주기는

T = 2 π m / k

입니다.

무거운 추일수록 굼떠서 천천히 흔들리고, 뻣뻣한 용수철일수록 세게 잡아채서 빨리 흔들립니다. 주기는 이 '굼뜸(

m

)'과 '잡아채는 힘(

k

)'의 줄다리기로 정해집니다.

쉽게 말하면

용수철 진자는 단순 조화 운동의 정의를 가장 직접적으로 보여 주는 계입니다. 탄성력과 후크 법칙에 따라 평형점에서 $x$ 만큼 늘이거나 줄이면 탄성력은 $F = - k x$ 이고, 여기에 $F = ma$ 를 쓰면 곧바로

$a = - \frac{k}{m} x, ω = \frac{k}{m}, T = 2 π \frac{m}{k}$

가 나옵니다. 다른 근사가 필요 없습니다. 단진자는 $sin θ \approx θ$ 라는 근사를 써야 했지만, 용수철은 후크 법칙이 성립하는 범위 안에서라면 진폭이 커도 그대로 단순 조화 운동입니다.

주기 공식을 읽는 방법이 중요합니다. $m$ 은 분자에 있으니 무거울수록 주기가 길고, $k$ 는 분모에 있으니 뻣뻣할수록 주기가 짧습니다. 여기서도 진폭 $A$ 는 어디에도 없습니다.

용수철을 연직으로 매달면 중력 때문에 처음부터 $x_{0} = m g / k$ 만큼 늘어난 자리에서 멈춥니다. 진동은 원래 길이가 아니라 이 새 평형점을 중심으로 일어나고, 그 자리에서 다시 $x$ 만큼 벗어났을 때의 알짜힘은 중력이 상쇄되어 여전히 $- k x$ 입니다. 그래서 연직이든 수평이든 주기 공식은 똑같습니다. 중력은 평형점의 위치만 옮길 뿐 주기를 바꾸지 못합니다.

에너지로 보면 탄성 퍼텐셜 에너지 $\frac{1}{2} k x^{2}$ 과 운동 에너지 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 이 주고받으며 합이 $\frac{1}{2} k A^{2}$ 으로 일정합니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

같은 용수철에 추를 2개 매달면

$T = 2 π \frac{m}{k} \Rightarrow T^{'} = 2 π \frac{2 m}{k} = 2 T \approx 1.41 T$

질량이 2배가 되어도 주기는 2배가 아니라 약 1.41배입니다. 제곱근이 붙어 있다는 점을 잊기 쉽습니다.
예시 2

진폭 $A$ 에서 놓았을 때 평형점을 지나는 속력

$\frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m v_{m a x}^{2} \Rightarrow v_{m a x} = A \frac{k}{m}$

에너지 보존만으로 구해집니다. 진폭을 2배로 하면 최대 속력은 2배가 되지만, 주기는 변하지 않습니다.
예시 3

용수철저울로 질량을 재는 우주정거장

무중력에서는 저울에 올려 무게를 잴 수 없습니다. 대신 용수철에 사람을 붙여 진동시키고 주기를 재면 $m = k T^{2} /4 π^{2}$ 으로 질량을 얻을 수 있습니다. 무게가 아니라 관성을 재는 방법입니다.

순서대로 하면

용수철 진자 주기 구하는 순서

1용수철 상수 $k$ 를 확인합니다. 모르면 추를 매달아 늘어난 길이로 $k = m g / x_{0}$ 를 구합니다.
2진동하는 물체의 질량 $m$ 을 확인합니다. 용수철 자체의 질량은 (충분히 가벼우면) 무시합니다.
3 $T = 2 π m / k$ 에 대입합니다. 연직 매달림이어도 $g$ 는 들어가지 않습니다.
4속력·에너지를 물으면 $\frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ 을 씁니다.

자주 하는 오해

연직으로 매단 용수철 진자의 주기에 중력이 들어간다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움천장에 매달았으니 중력이 작용해서 주기 공식에

g

가 들어갈 것이다

실제로는연직으로 매달아도 주기는

T = 2 π m / k

로 수평일 때와 똑같습니다.

중력은 평형점을

m g / k

만큼 아래로 옮길 뿐입니다. 그 새 평형점에서

x

만큼 벗어나면 알짜힘은

- k (x_{0} + x) + m g = - k x

가 되어 중력이 사라집니다. 진동을 지배하는 것은 '평형점에서 벗어난 만큼 되돌리는 힘'이지 중력의 절대적 크기가 아닙니다.

용수철 진자와 단진자의 주기 공식을 뒤섞기

이렇게 생각하기 쉬움진자니까 무거우면 느리게 흔들린다 — 단진자도

m

이 클수록 주기가 길다

실제로는용수철 진자는

T = 2 π m / k

로 질량이 남고, 단진자는

T = 2 π L / g

로 질량이 사라집니다.

복원력이 어디서 오느냐가 다릅니다. 단진자의 복원력

m g sin θ

는 질량에 비례하므로

a = F / m

에서

m

이 약분됩니다. 용수철의 복원력

- k x

는 질량과 무관하므로 약분될 것이 없어

m

이 그대로 남습니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

탄성력과 후크 법칙고2 단순 조화 운동고3

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

같은 단원의 개념 — 탄성파와 소리

공명과 맥놀이고3 단순 조화 운동고3 단진자고3 도플러 효과고3 음파와 소리고3 정상파와 공명고3 진폭·파장·진동수·주기고3 파동의 간섭과 회절고3 파동의 반사·굴절·전반사고3 파동의 성질고3 편광고3 횡파와 종파고3

자주 묻는 질문

Q1용수철 두 개를 이으면 주기가 어떻게 되나요?

직렬(길게 이어 붙이면)로 연결하면 더 잘 늘어나 유효

k

가 작아지므로 주기가 길어지고, 병렬(나란히 매달면)로 연결하면 유효

k

가 커져 주기가 짧아집니다. 어느 쪽이든 유효

k

를 먼저 구한 뒤 같은 공식에 넣으면 됩니다.

Q2진폭을 아주 크게 하면 어떻게 되나요?

후크 법칙이 성립하는 탄성 한계 안에서는 주기가 그대로입니다. 하지만 너무 크게 늘여 탄성 한계를 넘으면

F = - k x

자체가 깨져 단순 조화 운동이 아니게 되고, 용수철이 영구 변형됩니다.

Q3실제 실험값이 공식보다 조금 큰데 왜 그런가요?

공식은 용수철의 질량을 0으로 놓은 모형입니다. 실제 용수철도 함께 움직이므로 진동하는 유효 질량이 추의 질량보다 커지고, 그만큼 주기가 조금 길게 측정됩니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 탄성파와 소리 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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