물리학 고3 탄성파와 소리 심화

정상파와 공명

두 진행파의 중첩으로 형성되는 정상파(배와 마디)와 공명 진동수를 악기 원리에 적용한다.

파장과 진폭이 같고 진행 방향이 반대인 두 파동이 겹쳐, 마디는 전혀 움직이지 않고 배는 제자리에서 크게 진동하는 — 앞으로 나아가지 않는 것처럼 보이는 파동입니다.

줄넘기 줄의 한쪽을 벽에 묶고 흔들어 보세요. 아무 박자로나 흔들면 지저분하게 출렁이지만, 딱 맞는 박자로 흔들면 어떤 점은 완전히 멈춰 있고 어떤 점은 크게 흔들리는 예쁜 모양이 서 버립니다.

쉽게 말하면

정상파는 파동의 간섭과 회절의 중첩 원리가 만들어 내는 특별한 결과입니다. 줄의 끝에서 반사된 파동은 원래 파동과 파장·진폭이 같고 방향만 반대입니다. 이 둘이 겹치면, 어떤 지점에서는 항상 마루와 골이 만나 늘 상쇄되고(마디), 어떤 지점에서는 늘 최대로 보강됩니다(배).

마디와 배의 위치는 시간이 지나도 움직이지 않습니다. 그래서 '서 있는(정상) 파동'입니다. 하지만 실제로는 두 개의 진행파가 여전히 서로를 통과하며 달리고 있습니다 — 겉모습만 서 있을 뿐입니다.

기하학이 핵심입니다. 이웃한 마디와 마디 사이의 거리는 반파장( $λ /2$ )이고, 마디와 그 옆의 배 사이는 $λ /4$ 입니다.

양 끝이 고정된 길이 $L$ 인 줄에서는 양 끝이 반드시 마디여야 합니다. 그러면 줄 안에 들어갈 수 있는 파장이 몇 개로 제한됩니다.

$L = n \cdot \frac{λ}{2} \Rightarrow λ_{n} = \frac{2 L}{n}, f_{n} = \frac{v}{λ _{n}} = n \frac{v}{2 L}, n = 1, 2, 3, \dots$

아무 진동수나 정상파를 만들 수 없고, 이 특정한 값들에서만 만들어집니다. 그것이 이 줄의 고유 진동수이고, 외부에서 이 진동수로 흔들어 줄 때 크게 진동하는 것이 공명입니다. $n = 1$ 이 기본 진동, $n = 2, 3, \dots$ 이 배진동(배음)입니다.

악기가 정해진 음을 내는 이유가 여기 있습니다. 기타 줄을 짧게 짚으면( $L$ 이 작아지면) $f_{1} = v /2 L$ 이 커져 높은 음이 나고, 줄을 조여 장력을 높이면 $v$ 가 커져 역시 높은 음이 납니다. 음파와 소리에서 본 '음색'도 정상파로 설명됩니다 — 악기마다 기본 진동과 배진동이 섞이는 비율이 달라 파형이 달라집니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

양 끝이 고정된 $1 m$ 줄의 기본 진동 파장

$λ_{1} = \frac{2 L}{1} = 2 m$

기본 진동에서는 양 끝이 마디이고 가운데가 배 하나뿐이므로, 줄 전체가 반파장에 해당합니다. 파장이 줄 길이의 2배라는 점이 직관과 어긋나 실수하기 쉽습니다.
예시 2

2배진동의 진동수

$f_{2} = 2 f_{1}$

$n = 2$ 이면 줄 안에 반파장이 두 개 들어가 가운데에 마디가 하나 더 생깁니다. 파장은 절반, 진동수는 2배입니다. 고유 진동수들이 $f_{1}$ 의 정수배로 줄지어 나타나는 것이 정상파의 특징입니다.
예시 3

기타 줄을 프렛으로 짚는 이유

$f_{1} = \frac{v}{2 L}$

프렛을 짚으면 진동하는 줄의 길이 $L$ 이 짧아집니다. $f_{1}$ 은 $L$ 에 반비례하므로 진동수가 커져 높은 음이 납니다. 줄을 조여 장력을 높이는 조율은 $v$ 를 키워 같은 효과를 냅니다.

자주 하는 오해

정상파는 파동이 멈춘 것이라고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움정상파는 에너지가 전달되지 않는, 진짜로 정지한 파동이다

실제로는두 진행파는 여전히 반대 방향으로 달리고 있습니다. 다만 겹친 결과가 제자리에서 진동하는 무늬로 보일 뿐입니다.

마디와 배의 위치가 이동하지 않는 것이지, 파동이 사라진 것이 아닙니다. 배 지점의 매질은 아주 크게 진동하고 있고 에너지도 그 안에 갇혀 있습니다. '진행하지 않는다'와 '진동하지 않는다'는 전혀 다른 말입니다.

기본 진동의 파장을 줄의 길이라고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움길이

L

인 줄이 한 번 출렁이니까

λ = L

이다

실제로는기본 진동의 파장은

λ_{1} = 2 L

로 줄 길이의 두 배입니다.

한 파장 안에는 마루와 골이 하나씩 들어 있습니다. 그런데 기본 진동으로 진동하는 줄에는 위로 부푼 배 하나만 보입니다 — 그것은 파동의 절반뿐입니다. 마디와 마디 사이가

λ /2

라는 사실에서 곧바로

L = λ /2

, 즉

λ = 2 L

이 나옵니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

파동의 간섭과 회절고3

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

같은 단원의 개념 — 탄성파와 소리

공명과 맥놀이고3 단순 조화 운동고3 단진자고3 도플러 효과고3 용수철 진자고3 음파와 소리고3 진폭·파장·진동수·주기고3 파동의 간섭과 회절고3 파동의 반사·굴절·전반사고3 파동의 성질고3 편광고3 횡파와 종파고3

자주 묻는 질문

Q1관악기처럼 한쪽이 열린 관에서는 어떻게 되나요?

닫힌 끝은 공기가 움직일 수 없으므로 마디, 열린 끝은 자유롭게 진동할 수 있으므로 배가 됩니다. 이 경계 조건에 맞는 파장만 정상파가 되므로, 양 끝이 열린 관과 한쪽만 열린 관은 서로 다른 진동수 집합을 갖습니다. 원리는 줄과 같습니다 — 경계 조건이 가능한 파장을 정합니다.

Q2정상파와 공명은 어떻게 이어지나요?

정상파가 만들어지는 진동수가 곧 그 줄(또는 관)의 고유 진동수입니다. 외부에서 이 진동수로 흔들면 에너지가 계속 쌓여 진폭이 크게 자라는데, 그것이 공명입니다. 즉 정상파는 공명 상태에서 관찰되는 모양입니다.

Q3마디에서는 정말로 하나도 움직이지 않나요?

이상적인 정상파라면 그렇습니다. 두 파동의 변위가 언제나 크기가 같고 부호가 반대여서 합이 항상 0입니다. 줄 위에 종이 조각을 얹어 보면 배 위의 조각은 튕겨 나가지만 마디 위의 조각은 그대로 있는 것으로 확인할 수 있습니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 탄성파와 소리 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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