물리학 고3 탄성파와 소리 심화

단순 조화 운동

Q: 왜 하필 사인·코사인 함수인가요?

'두 번 미분하면 자기 자신에 -가 붙어 돌아오는 함수'가 사인과 코사인뿐이기 때문입니다. a = -2 x는 곧 '위치를 시간으로 두 번 미분하면 위치에 -2를 곱한 것이 된다'는 뜻이고, 이 조건을 만족하는 함수가 사인·코사인입니다.

용수철·진자 계에서 복원력에 의해 주기적으로 반복되는 단순 조화 운동의 주기와 에너지를 분석한다.

변위에 비례하고 방향이 반대인 복원력(

F = - k x

)을 받는 물체가 평형점을 중심으로 같은 주기로 왕복하는 운동입니다.

복원력은 '멀리 갈수록 세게 잡아당기는 고무줄'입니다. 멀리 갈수록 더 세게 끌려오고, 평형점에서는 당기는 힘이 0이라 가장 빠르게 지나갑니다.

쉽게 말하면

단순 조화 운동의 출발점은 탄성력과 후크 법칙입니다. 후크 법칙 $F = - k x$ 를 뉴턴 운동 법칙 $F = ma$ 에 넣으면 $a = - \frac{k}{m} x$ 가 되는데, 이 한 줄이 단순 조화 운동의 정의입니다. 가속도가 변위에 비례하고 부호가 반대인 운동은 무엇이든 단순 조화 운동입니다.

이 조건을 만족하는 운동의 위치는 사인·코사인 꼴로 적힙니다.

$x = A sin (ω t + ϕ), ω = \frac{k}{m}, T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \frac{m}{k}$

주목할 점은 주기 $T$ 에 진폭 $A$ 가 들어 있지 않다는 것입니다. 크게 흔들든 작게 흔들든 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간이 같습니다. 크게 흔들면 갈 길이 멀어지지만 그만큼 복원력도 커져 더 빨리 움직이기 때문에 정확히 상쇄됩니다. 이 성질(등시성) 덕분에 진자가 시계가 될 수 있었습니다.

에너지로 보면 그림이 더 깔끔합니다. 탄성 퍼텐셜 에너지 $\frac{1}{2} k x^{2}$ 와 운동 에너지 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 가 서로 자리를 바꿀 뿐 합은 $\frac{1}{2} k A^{2}$ 로 일정합니다. 양 끝(최대 변위)에서는 속도가 0이고 에너지가 전부 퍼텐셜, 평형점에서는 퍼텐셜이 0이고 전부 운동 에너지입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

질량을 4배로 늘리면 주기는 어떻게 되나

$T = 2 π \frac{m}{k} \Rightarrow T^{'} = 2 π \frac{4 m}{k} = 2 T$

주기는 질량의 제곱근에 비례하므로 4배 무겁게 하면 주기는 2배가 됩니다. 반대로 용수철을 4배 뻣뻣하게( $k \to 4 k$ ) 하면 주기는 절반이 됩니다.
예시 2

평형점을 지날 때의 최대 속력

$\frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m v_{m a x}^{2} \Rightarrow v_{m a x} = A \frac{k}{m} = A ω$

에너지 보존만 쓰면 미분 없이 최대 속력이 나옵니다. 진폭이 2배가 되면 최대 속력도 2배지만, 주기는 그대로입니다.
예시 3

가속도가 가장 큰 곳은 어디인가

$a = - \frac{k}{m} x$ 이므로 변위가 가장 큰 양 끝에서 가속도의 크기가 최대이고, 평형점에서는 가속도가 0입니다. 그런데 속력은 정반대로 양 끝에서 0, 평형점에서 최대입니다. 속도와 가속도가 최대가 되는 위치가 서로 어긋난다는 점이 단순 조화 운동의 특징입니다.

순서대로 하면

어떤 운동이 단순 조화 운동인지 확인하는 순서

1평형점(알짜힘이 0인 위치)을 먼저 찾습니다.
2평형점에서 $x$ 만큼 벗어났을 때의 알짜힘을 $x$ 의 식으로 씁니다.
3그 식이 $F = - (양수) \times x$ 꼴이면 단순 조화 운동입니다.
4그 양수를 $k$ 로 보고 $ω = k / m$ , $T = 2 π / ω$ 에 대입합니다.

자주 하는 오해

진폭을 키우면 주기도 길어진다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움더 크게 잡아당겨 놓으면 갈 길이 머니까 한 번 왕복하는 데 더 오래 걸린다

실제로는진폭을 키워도 주기는 그대로입니다. 주기는

m

과

k

만으로 정해집니다.

진폭이 커지면 이동 거리가 늘지만 복원력도 같은 비율로 커져 평균 속력도 그만큼 빨라집니다. 두 효과가 정확히 상쇄되어 시간이 같아집니다. 진폭이 바뀌면 달라지는 것은 최대 속력과 총에너지(

\frac{1}{2} k A^{2}

)이지 주기가 아닙니다.

양 끝에서 속도가 0이니 가속도도 0이라고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움최대 변위 지점에서는 물체가 잠깐 멈추므로 아무 일도 일어나지 않는다

실제로는그 순간 속도는 0이지만 복원력이 가장 크므로 가속도의 크기가 최대입니다.

가속도는 '지금 얼마나 빠른가'가 아니라 '속도가 얼마나 빨리 바뀌는가'입니다. 양 끝은 물체가 방향을 되돌리는 지점이므로 속도 변화가 가장 격렬한 곳입니다. 속도가 0인 것과 가속도가 0인 것은 전혀 다른 이야기입니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

탄성력과 후크 법칙고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

단진자고3 용수철 진자고3 파동의 성질고3

같은 단원의 개념 — 탄성파와 소리

공명과 맥놀이고3 단진자고3 도플러 효과고3 용수철 진자고3 음파와 소리고3 정상파와 공명고3 진폭·파장·진동수·주기고3 파동의 간섭과 회절고3 파동의 반사·굴절·전반사고3 파동의 성질고3 편광고3 횡파와 종파고3

자주 묻는 질문

Q1왜 하필 사인·코사인 함수인가요?

'두 번 미분하면 자기 자신에

-

가 붙어 돌아오는 함수'가 사인과 코사인뿐이기 때문입니다.

a = - ω^{2} x

는 곧 '위치를 시간으로 두 번 미분하면 위치에

- ω^{2}

를 곱한 것이 된다'는 뜻이고, 이 조건을 만족하는 함수가 사인·코사인입니다.

ω

(각진동수)는 각도와 무슨 상관인가요?

등속 원운동을 하는 점을 옆에서 보면 그림자가 정확히 단순 조화 운동을 합니다.

ω

는 그 원운동의 각속도에 해당하고, 그래서 단위가

rad/s

입니다. 진동수

f

와는

ω = 2 π f

로 이어집니다.

Q3현실의 진동은 결국 멈추는데 왜 영원히 흔들린다고 배우나요?

마찰과 공기 저항을 무시한 이상적인 모형이기 때문입니다. 실제로는 진폭이 조금씩 줄어드는 감쇠 진동이 됩니다. 다만 감쇠가 약하면 주기는 거의 그대로여서, 이 모형으로 얻은

T

가 실험값과 잘 맞습니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 탄성파와 소리 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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같은 공식이 실제 계에서 어떻게 나오는지 보려면 용수철 진자와 단진자를 이어서 보세요. 이 진동이 매질을 타고 퍼져 나가면 파동의 성질이 됩니다.

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