물리학 고2 전기와 자기 심화

앙페르 법칙

Q: 왜 곧은 도선의 자기장은 거리의 제곱이 아니라 거리에 반비례하나요?

고리의 길이가 2 r로 거리에 비례해 커지기 때문입니다. 감싼 전류는 그대로인데 나눠 가질 둘레가 길어지니, 자기장은 1/r로 줄어듭니다. 점전하처럼 사방으로 퍼지는 것이 아니라 도선을 따라 무한히 이어지는 원천이라 생기는 차이입니다.

전류가 흐르는 폐경로 주위의 자기장 선적분이 전류에 비례한다는 앙페르 법칙으로 도선·솔레노이드의 자기장을 계산한다.

닫힌 경로를 따라 자기장을 한 바퀴 더한 값이 그 경로가 감싸는 전류에 비례한다는 법칙으로, 식으로는

\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enc}

입니다.

전류를 '자기장을 만드는 원천'이라고 보면, 앙페르 법칙은 '전류를 몇 가닥 감쌌는지만 세면 그 둘레의 자기장 총합이 정해진다'는 규칙입니다. 경로의 모양이 아니라 안에 든 전류의 양이 답을 정합니다.

쉽게 말하면

자기장과 전동기에서 전류가 자기장을 만든다는 사실은 이미 배웠습니다. 앙페르 법칙은 그 자기장의 '세기'를 실제로 계산하게 해 주는 도구입니다.

$\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enc}$

왼쪽은 우리가 마음대로 잡은 닫힌 경로(앙페르 고리)를 따라 자기장을 조금씩 더해 나간 값이고, 오른쪽의 $I_{enc}$ 는 그 고리를 뚫고 지나가는 전류입니다. $μ_{0}$ 는 진공의 투자율이라는 상수입니다.

이 식이 강력한 이유는, 대칭성이 좋은 상황에서 적분을 곱셈 하나로 바꿔 주기 때문입니다. 곧은 도선 주위에서는 자기장이 도선을 중심으로 한 동심원 위에서 어디나 같은 크기이므로, 반지름 $r$ 인 원을 고리로 잡으면 왼쪽이 그냥 $B \times 2 π r$ 이 됩니다. 그래서 $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ 이 바로 나옵니다.

같은 논리를 솔레노이드에 쓰면 내부 자기장이 $B = μ_{0} n I$ ( $n$ 은 단위 길이당 감은 수)로 나옵니다. 여기서 반지름이나 코일의 굵기가 식에 없다는 점이 중요합니다 — 긴 솔레노이드 안쪽은 어디를 재도 자기장이 거의 같습니다.

앙페르 법칙은 전기에서 전기력선과 가우스 법칙이 하는 역할과 짝을 이룹니다. 가우스 법칙이 '닫힌 면을 뚫는 전기장'과 '안에 든 전하'를 연결하듯, 앙페르 법칙은 '닫힌 선을 도는 자기장'과 '안을 지나는 전류'를 연결합니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

곧은 도선에서 거리 $r$ 인 곳의 자기장

$B \cdot 2 π r = μ_{0} I \Rightarrow B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$

도선에서 두 배 멀어지면 자기장은 절반이 됩니다. 전기장이나 중력처럼 거리의 제곱에 반비례하는 것이 아니라, 거리에 그냥 반비례합니다.
예시 2

솔레노이드 내부의 자기장

$B = μ_{0} n I$

촘촘히 감을수록( $n$ 이 클수록), 전류를 세게 흘릴수록 자기장이 세집니다. 길이를 그대로 두고 감은 수만 두 배로 늘리면 자기장도 두 배가 됩니다.
예시 3

속이 빈 원통 도선 안쪽

전류가 원통의 껍질에만 흐르는 도선이라면, 원통 안쪽에 잡은 고리는 전류를 하나도 감싸지 않습니다. 따라서 $I_{enc} = 0$ 이고 안쪽 자기장도 0입니다. 바깥에는 전류가 흐르고 있는데도 그렇습니다.

순서대로 하면

앙페르 법칙으로 자기장 구하는 순서

1자기장의 대칭성을 먼저 봅니다. 곧은 도선이면 동심원, 솔레노이드면 축에 나란한 방향입니다.
2자기장의 크기가 일정하고 방향이 경로와 나란해지도록 앙페르 고리를 잡습니다. 이 선택이 문제의 전부입니다.
3왼쪽 적분을 $B \times (고리의 길이)$ 로 바꿉니다.
4고리를 뚫고 지나가는 전류만 $I_{enc}$ 에 셉니다. 고리 밖의 전류는 넣지 않습니다.
5 $B$ 에 대해 풉니다. 방향은 오른손 법칙(엄지를 전류 방향으로, 감는 네 손가락이 자기장 방향)으로 정합니다.

자주 하는 오해

고리 밖의 전류가 자기장을 안 만든다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움

I_{enc}

에 안 들어갔으니 그 전류는 그 자리의 자기장에 기여하지 않는다

실제로는고리 밖의 전류도 자기장은 분명히 만듭니다. 다만 그 자기장이 고리를 한 바퀴 도는 동안 더한 값이 정확히 0이 되어 사라질 뿐입니다.

앙페르 법칙이 말하는 것은 '한 점의 자기장'이 아니라 '경로 전체를 돈 합'입니다. 바깥 전류가 만든 자기장은 고리의 어떤 구간에서는 경로 방향과 같고 다른 구간에서는 반대라, 합치면 상쇄됩니다. 한 점의 자기장은 여전히 0이 아닙니다.

\oint B \cdot d l = 0

이면 그 안의 자기장이 0이라고 결론짓기

이렇게 생각하기 쉬움적분값이 0이니 고리 안 어디에도 자기장이 없다

실제로는적분값이 0이라는 것은 감싼 전류가 0이라는 뜻일 뿐, 자기장이 0이라는 뜻이 아닙니다.

속이 빈 원통 예시에서 안쪽 자기장이 0인 것은 대칭성 때문에 '

B \times 2 π r = 0

'까지 갈 수 있어서였습니다. 대칭이 없으면 적분이 0이어도 자기장은 곳곳에서 0이 아닐 수 있습니다. 앙페르 법칙 자체는 항상 참이지만, 자기장을 뽑아내려면 대칭성이라는 추가 조건이 필요합니다.

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자주 묻는 질문

Q1앙페르 고리는 실제로 존재하는 선인가요?

아닙니다. 계산을 위해 우리가 상상으로 그린 수학적인 닫힌 선입니다. 도선이 있을 필요도, 어떤 물체를 따라갈 필요도 없습니다. 그래서 계산이 쉬워지도록 마음대로 골라 잡을 수 있는 것이고, 잘 고르는 것이 실력입니다.

Q2왜 곧은 도선의 자기장은 거리의 제곱이 아니라 거리에 반비례하나요?

고리의 길이가

2 π r

로 거리에 비례해 커지기 때문입니다. 감싼 전류는 그대로인데 나눠 가질 둘레가 길어지니, 자기장은

1/ r

로 줄어듭니다. 점전하처럼 사방으로 퍼지는 것이 아니라 도선을 따라 무한히 이어지는 원천이라 생기는 차이입니다.

Q3앙페르 법칙에 빠진 것이 있다던데요?

네. 축전기를 충전하는 동안처럼 전류가 끊긴 틈이 있는 상황에서는 이 식만으로는 앞뒤가 맞지 않습니다. 여기에 '변하는 전기장도 자기장을 만든다'는 항을 더해야 완성되고, 그 완성형이 맥스웰 방정식과 전자기파의 한 축이 됩니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 전기와 자기 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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'전류가 자기장을 만든다'의 반대 방향, 즉 '변하는 자기장이 전류를 만든다'가 전자기 유도입니다. 두 방향을 합쳐 하나로 묶으면 맥스웰 방정식과 전자기파가 됩니다.

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