물리학 고2 빛과 물질 심화

길이 수축

Q: L0와 L 중 뭘 어디에 넣어야 하나요?

L0(고유 길이)는 그 물체와 함께 정지한 관성계에서 잰 길이입니다. 우주선의 고유 길이는 승무원이 잰 값, 지구 대기 두께의 고유 길이는 지상에서 잰 값입니다. 계산 결과가 L0보다 길게 나왔다면 뒤집어 넣은 것입니다.

Q: 그럼 광속에 도달하면 길이가 0이 되나요?

형식적으로는 → 이니 L → 0입니다. 하지만 질량이 있는 물체는 c에 도달할 수 없습니다. 왜 그런지는 상대론적 운동량과 에너지에서 확인할 수 있습니다.

광속에 가까운 속도로 운동하는 물체의 운동 방향 길이가 수축되는 현상(L=L₀/γ)을 로런츠 인자로 설명한다.

나에 대해 빠르게 움직이는 물체는 운동 방향의 길이가

L = L_{0} / γ

로 짧아져 측정되는 현상입니다.

터널을 광속에 가깝게 통과하는 우주선에서 보면, 짧아지는 것은 우주선이 아니라 터널입니다. '누가 짧아지는가'는 '누가 움직이는가'에 달려 있고, 그 답은 관성계마다 다릅니다.

쉽게 말하면

시간 팽창을 인정했다면 길이 수축은 선택이 아니라 강제입니다. 대기에서 만들어진 뮤온을 두 관성계에서 보겠습니다.

지상에서 보면: 뮤온의 시계가 느려져 수명이 $γ$ 배로 늘어났고, 그래서 두꺼운 대기를 통과해 지표에 도착합니다. 뮤온 입장에서 보면: 내 수명은 늘 그대로입니다. 그런데도 지표에 도착했습니다. 어떻게? 지구가 나를 향해 달려오는데 그 대기층의 두께가 $1/ γ$ 로 줄어들었기 때문입니다. 두 설명은 서로 다른 이야기가 아니라 같은 사건을 두 관성계에서 본 것입니다.

$L = \frac{L _{0}}{γ} = L_{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}$

$L_{0}$ 를 고유 길이라 하고, 물체와 함께 정지한 관성계에서 잰 길이입니다. 고유 길이가 언제나 가장 깁니다. 시간은 고유 시간이 가장 짧고 길이는 고유 길이가 가장 길다 — 이 대비를 외워 두면 부호를 헷갈리지 않습니다.

수축은 운동 방향으로만 일어납니다. 운동 방향과 수직인 폭과 높이는 그대로입니다. 그래서 광속에 가깝게 날아가는 정육면체는 납작한 직육면체처럼 측정됩니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

$0.6 c$ 로 날아가는 100 m 우주선

$γ = \frac{1}{1 - 0. 6 ^{2}} = 1.25, L = \frac{100}{1.25} = 80 m$

지상에서 재면 80 m입니다. 우주선 안 승무원이 줄자로 재면 여전히 100 m입니다. 우주선이 '찌그러진' 것이 아니라, 두 관성계의 길이 측정이 다를 뿐입니다.
예시 2

뮤온이 보는 대기

지상 관측자는 '뮤온의 시간이 느려져 오래 산다'고 하고, 뮤온은 '내 수명은 그대로지만 지나갈 대기가 짧아졌다'고 합니다. 두 관성계가 같은 결론(지표 도착)에 도달합니다. 상대론이 자기모순 없이 작동한다는 좋은 예입니다.
예시 3

길이를 '잰다'는 것의 의미

움직이는 막대의 길이는 양 끝의 위치를 동시에 표시해서 그 간격을 재는 것입니다. 그런데 '동시'가 관성계마다 다르므로(동시성의 상대성), 길이가 관성계마다 다른 것은 사실 놀랄 일이 아닙니다. 길이 수축의 뿌리는 결국 동시성입니다.

자주 하는 오해

물체가 힘을 받아 눌려서 찌그러진다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움빠르게 달리면 앞쪽에서 압력을 받아 물체가 실제로 압축된다

실제로는물체에는 아무 일도 일어나지 않습니다. 물체와 함께 움직이는 사람에게 길이는 언제나

L_{0}

그대로입니다.

길이 수축은 물질에 가해지는 힘이 아니라 시공간을 재는 방식의 문제입니다. 만약 진짜로 압축된다면 우주선 안 승무원도 벽이 다가오는 것을 느껴야 하는데, 그런 일은 없습니다.

모든 방향으로 줄어든다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움빠르게 지나가는 공은 작은 공으로 보인다

실제로는운동 방향으로만

1/ γ

배가 되고, 수직 방향은 그대로입니다. 공은 작은 공이 아니라 납작한 원반처럼 측정됩니다.

로런츠 변환에서 운동 방향의 좌표만 섞이고, 수직 좌표는 그대로 남습니다. 수직 방향까지 줄어든다면 앞의 빛 시계 논증(거울 사이 거리

L

이 두 관성계에서 같다는 전제)이 깨져 시간 팽창 유도 자체가 무너집니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

특수 상대성 이론고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

상대론적 운동량과 에너지고2

같은 단원의 개념 — 빛과 물질

자주 묻는 질문

L_{0}

와

L

중 뭘 어디에 넣어야 하나요?

L_{0}

(고유 길이)는 그 물체와 함께 정지한 관성계에서 잰 길이입니다. 우주선의 고유 길이는 승무원이 잰 값, 지구 대기 두께의 고유 길이는 지상에서 잰 값입니다. 계산 결과가

L_{0}

보다 길게 나왔다면 뒤집어 넣은 것입니다.

Q2카메라로 찍으면 정말 납작하게 나오나요?

측정값과 사진은 다릅니다. 사진에는 물체의 각 부분에서 나온 빛이 도달하는 시간 차까지 섞여 들어가, 실제로는 회전한 것처럼 보이는 효과가 함께 나타납니다. 물리에서 말하는 길이 수축은 '동시에 양 끝 위치를 표시해 잰 값'이지 눈에 들어오는 상이 아닙니다.

Q3그럼 광속에 도달하면 길이가 0이 되나요?

형식적으로는

γ \to \infty

이니

L \to 0

입니다. 하지만 질량이 있는 물체는

c

에 도달할 수 없습니다. 왜 그런지는 상대론적 운동량과 에너지에서 확인할 수 있습니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 빛과 물질 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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