물리학 고2 빛과 물질

에너지 양자화

원자·분자 등 속박계에서 에너지가 연속이 아닌 불연속적인 값만 가질 수 있는 에너지 양자화를 이해한다.

원자처럼 좁은 공간에 갇힌(속박된) 입자는 아무 에너지나 가질 수 없고, 정해진 불연속적인 값만 가질 수 있다는 성질입니다.

양 끝이 묶인 기타 줄을 생각하면 됩니다. 그 줄은 아무 진동수로나 울리지 않고, 줄 길이에 딱 맞아떨어지는 몇 개의 음만 냅니다. 갇힌 파동은 언제나 이런 식으로 '골라진' 상태만 허용합니다.

쉽게 말하면

보어 원자 모형은 전자가 정해진 준위에만 있다고 '가정'했고, 원자 스펙트럼은 그 가정이 옳다는 것을 보여 주었습니다. 그런데 왜 하필 계단이어야 할까요? 답은 전자의 파동성에 있습니다.

전자가 원자 안에 갇히면 그 물질파는 좁은 공간을 왕복하며 스스로와 겹칩니다. 파장이 어중간하면 겹칠 때마다 상쇄되어 살아남지 못하고, 공간의 크기에 딱 맞아떨어지는 파장만 정상파처럼 안정하게 남습니다. 허용되는 파장이 몇 가지뿐이면 허용되는 운동량도 몇 가지뿐이고, 따라서 에너지도 몇 가지뿐입니다. 여기서 정수 $n$ 이 튀어나옵니다.

$E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV (n = 1, 2, 3, \dots)$

핵심은 '갇혀 있을 때'라는 조건입니다. 속박에서 풀려난 자유 전자는 아무 에너지나 가질 수 있습니다. 그래서 원자를 이온화시키고 남은 에너지는 연속적인 운동에너지가 되고, 스펙트럼에서도 이온화 한계 너머는 선이 아니라 연속된 띠로 나타납니다. 양자화는 우주의 모든 에너지에 걸린 계율이 아니라, 파동을 좁은 방에 가뒀을 때 생기는 결과입니다.

이 원리는 원자 밖으로도 뻗어 나갑니다. 화학의 전자 배치와 부껍질(s·p·d·f 오비탈)은 이 양자화된 상태들에 전자를 채워 넣은 목록이고, 원자가 아주 많이 모인 고체에서는 준위들이 촘촘히 갈라져 '띠'를 이룹니다 — 그것이 에너지띠와 반도체입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

양 끝이 고정된 줄의 정상파

길이가 정해진 줄에서는 반파장이 정수 개 들어맞는 진동만 살아남습니다. 그래서 기타 줄의 소리는 기본음과 배음이라는 불연속적인 진동수만 냅니다. 줄을 고정하지 않고 무한히 길게 늘이면 어떤 진동수든 가능해집니다 — 불연속을 만든 것은 파동이 아니라 '양 끝이 묶여 있다'는 조건입니다.
예시 2

수소 원자의 에너지 준위

$E_{1} = - 13.6 eV, E_{2} = - 3.40 eV, E_{3} = - 1.51 eV$

$n$ 은 정수만 가능하므로 $- 5 eV$ 같은 상태는 아예 존재하지 않습니다. 준위 '사이'는 전자가 잠깐 머무는 곳이 아니라, 있을 수 없는 곳입니다.
예시 3

이온화 한계 너머의 연속 스펙트럼

수소 바닥상태 전자에 $13.6 eV$ 보다 큰 에너지를 주면 전자가 원자를 완전히 떠납니다. 이때 남는 에너지는 전자의 운동에너지가 되는데, 여기에는 아무런 제약이 없어 어떤 값이든 가능합니다. 그래서 흡수 스펙트럼에서 이온화 한계보다 짧은 파장 쪽은 선이 아니라 연속된 흡수 띠로 보입니다 — 양자화가 '속박'의 결과라는 가장 직접적인 증거입니다.

자주 하는 오해

모든 에너지가 언제나 양자화되어 있다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움양자화는 우주의 근본 법칙이니 자유롭게 날아가는 전자의 에너지도 불연속일 것이다

실제로는양자화는 입자가 '갇혀 있을 때' 나타납니다. 속박되지 않은 자유 입자의 에너지는 연속입니다.

불연속을 만드는 것은 좁은 공간이 파동에 거는 정상파 조건입니다. 조건이 없으면 걸러질 것도 없습니다. 원자 안의 전자는 준위를 갖지만, 원자에서 떨어져 나온 전자는 어떤 운동에너지든 가질 수 있습니다. 그래서 선 스펙트럼은 준위 안에서만 나오고, 이온화 너머는 연속입니다.

일상에서 계단이 안 보이니 거시 세계에는 양자화가 없다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움그네나 진자의 에너지는 매끄럽게 변하니, 양자화는 원자에만 있는 딴 세상 법칙이다

실제로는원리는 똑같이 적용됩니다. 다만 계단의 간격이 상상할 수 없을 만큼 촘촘해 연속으로 보일 뿐입니다.

준위 간격은 플랑크 상수