물리학 고2 빛과 물질 심화

상대론적 운동량과 에너지

Q: E2 = (pc)2 + (mc2)2은 왜 유용한가요?

속도 v가 식에서 사라졌기 때문입니다. 관성계를 바꾸면 E와 p는 각각 달라지지만 이 조합은 늘 같은 m을 줍니다. 입자물리에서 검출된 에너지와 운동량으로 어떤 입자인지 알아내는 것이 바로 이 식입니다.

Q: 그럼 정말로 광속에 도달할 수 없나요?

질량이 있는 물체는 불가능합니다. v → c에서 → 이므로 필요한 에너지가 무한대로 발산합니다. 가속기에서 전자를 아무리 밀어도 속도는 c에 점점 가까워질 뿐 넘지 못하고, 대신 에너지만 계속 올라갑니다.

Q: 광자는 질량이 0인데 어떻게 운동량이 있나요?

운동량은 '질량 × 속도'가 아니라 더 근본적인 양이기 때문입니다. m = 0이면 E = pc이므로 에너지가 있으면 운동량도 있습니다. 이 운동량이 실제로 존재한다는 증거가 콤프턴 산란과 복사압입니다.

상대론적 운동량(p=γmv)과 총에너지(E=γmc²)를 정의하고 E²=(pc)²+(mc²)² 관계를 이해한다.

광속에 가까운 물체의 운동량은

p = γ m v

, 총에너지는

E = γ m c^{2}

이며, 둘은

E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}

로 묶입니다.

속도에는

c

라는 천장이 있지만 운동량과 에너지에는 천장이 없습니다. 계속 밀어 주면 속도는

c

에 점점 붙기만 하는데, 에너지는 끝없이 올라갑니다 — 그래서 광속은 '넘을 수 없는 벽'이 됩니다.

쉽게 말하면

시간 팽창과 길이 수축을 받아들이고 나면 뉴턴식 운동량 $p = m v$ 를 그대로 쓸 수 없습니다. 이 정의로는 서로 다른 관성계에서 운동량 보존이 동시에 성립하지 않기 때문입니다. 보존 법칙을 살리려면 $γ$ 하나를 끼워 넣어야 합니다.

$p = γ m v, E = γ m c^{2}, γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$

여기서 $m$ 은 물체와 함께 정지한 관성계에서 잰 정지 질량이고, 관성계에 상관없이 같은 값입니다. $v \to c$ 이면 $γ \to \infty$ 이므로 $p$ 와 $E$ 가 함께 발산합니다. 질량이 있는 물체를 광속까지 가속하려면 무한한 에너지가 필요하다는 뜻이고, 그래서 $c$ 는 도달 불가능한 한계입니다.

$v = 0$ 을 넣으면 $E = m c^{2}$ 이 남습니다. 정지해 있어도 남는 이 에너지가 정지 에너지이며, 여기서 질량-에너지 등가가 나옵니다. 운동에너지는 총에너지에서 정지 에너지를 뺀 나머지 $K = (γ - 1) m c^{2}$ 입니다.

두 식에서 $v$ 를 소거하면 관성계에 무관한 관계식 하나가 남습니다.

$E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$

이 식은 질량이 0인 광자에도 그대로 쓸 수 있어서 유용합니다. $m = 0$ 을 넣으면 $E = p c$ 가 되고, 이것이 광자 (포톤)의 운동량이 존재하는 이유입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

정지 에너지와 운동에너지

$E = γ m c^{2} = 정지 에너지 m c^{2} + 운동에너지 (γ - 1) m c^{2}$

총에너지는 '가만히 있어도 있는 몫'과 '움직여서 얻은 몫'의 합입니다. 뉴턴 역학에는 앞의 항이 아예 없었습니다.
예시 2

느린 속도에서는 뉴턴 식으로 되돌아온다

$(γ - 1) m c^{2} \approx \frac{1}{2} m v^{2} (v ≪ c)$

$γ$ 를 $v / c$ 가 작을 때로 전개하면 첫 항이 정확히 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 입니다. 상대론은 뉴턴 역학을 부정하는 게 아니라 포함합니다.
예시 3

질량이 0인 입자

$m = 0 \Rightarrow E = p c$

광자는 정지 질량이 0인데도 에너지와 운동량을 가집니다. $p = γ m v$ 는 $γ \to \infty$ , $m = 0$ 의 불확정한 꼴이라 쓸 수 없고, $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ 를 써야 합니다. 광자가 물체를 밀어낼 수 있는 근거이며 콤프턴 산란의 출발점입니다.

자주 하는 오해

'속도가 빨라지면 질량이 늘어난다'고 이해하기

이렇게 생각하기 쉬움빨리 달릴수록 질량이

γ m

으로 커져서 더 가속하기 어려워진다

실제로는질량

m

은 정지 질량으로 고정된 값이고, 커지는 것은 운동량과 에너지입니다.

'상대론적 질량'은 옛 교과서의 표현으로, 방향에 따라 값이 달라지는 등 곧 모순을 낳아 현대 물리에서는 쓰지 않습니다.

γ

를 질량에 붙이지 말고

p

와

E

의 정의 안에 두는 것이 정확합니다.

운동에너지를

\frac{1}{2} γ m v^{2}

이라고 쓰기

이렇게 생각하기 쉬움

K = \frac{1}{2} m v^{2}

의

m

자리에

γ m

을 넣으면 상대론 운동에너지가 된다

실제로는

K = (γ - 1) m c^{2}

입니다.

\frac{1}{2} m v^{2}

에

γ

를 끼워 넣는 방식으로는 얻어지지 않습니다.

\frac{1}{2} m v^{2}

은 뉴턴 역학의 결과이지 상대론 식의 뼈대가 아닙니다. 상대론에서는 총에너지

γ m c^{2}

을 먼저 정의하고 정지 에너지

m c^{2}

을 빼서 운동에너지를 얻습니다. 두 식은

v ≪ c

에서만 서로 일치합니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

길이 수축고2 시간 팽창고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

질량-에너지 등가고2

같은 단원의 개념 — 빛과 물질

자주 묻는 질문

E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}

은 왜 유용한가요?

속도

v

가 식에서 사라졌기 때문입니다. 관성계를 바꾸면

E

와

p

는 각각 달라지지만 이 조합은 늘 같은

m

을 줍니다. 입자물리에서 검출된 에너지와 운동량으로 어떤 입자인지 알아내는 것이 바로 이 식입니다.

Q2그럼 정말로 광속에 도달할 수 없나요?

질량이 있는 물체는 불가능합니다.

v \to c

에서

γ \to \infty

이므로 필요한 에너지가 무한대로 발산합니다. 가속기에서 전자를 아무리 밀어도 속도는

c

에 점점 가까워질 뿐 넘지 못하고, 대신 에너지만 계속 올라갑니다.

Q3광자는 질량이 0인데 어떻게 운동량이 있나요?

운동량은 '질량 × 속도'가 아니라 더 근본적인 양이기 때문입니다.

m = 0

이면

E = p c

이므로 에너지가 있으면 운동량도 있습니다. 이 운동량이 실제로 존재한다는 증거가 콤프턴 산란과 복사압입니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 빛과 물질 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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