물리학 고2 빛과 물질 심화

시간 팽창

Q: 빛의 속도로 달리면 시간이 멈추나요?

v → c이면 → 가 되어 형식적으로는 그렇습니다. 하지만 질량이 있는 물체는 c에 도달할 수 없습니다 — 상대론적 운동량과 에너지에서 보듯 필요한 에너지가 무한대로 발산하기 때문입니다.

광속에 가까운 속도로 운동하는 관성계에서 시간이 느리게 흐르는 시간 팽창(t=γt₀)을 이해한다.

나에 대해 빠르게 움직이는 시계는 내 시계보다 느리게 가며, 그 비율이 로런츠 인자

γ

인 현상입니다:

t = γ t_{0}

움직이는 시계 안에서 빛은 '위아래'가 아니라 '지그재그'로 더 긴 길을 갑니다. 그런데 빛의 속력은 늘어나지 않으니, 늘어난 길이만큼 시간이 더 걸립니다 — 즉 그 시계의 1초가 길어집니다.

쉽게 말하면

광속 불변 원리를 받아들이면 시간 팽창은 피타고라스 정리 한 번으로 나옵니다. 바닥과 천장에 거울이 있어 빛이 위아래로 왕복하는 '빛 시계'를 생각합시다. 거울 사이 거리가 $L$ 이면, 시계와 함께 움직이는 사람에게 한 번 왕복하는 시간은 $t_{0} = 2 L / c$ 입니다.

이 시계를 싣고 속도 $v$ 로 지나가는 것을 밖에서 보면, 빛은 위로 가는 동안 옆으로도 밀려 대각선 경로를 그립니다. 경로가 길어졌는데 속력은 여전히 $c$ 이므로 걸린 시간 $t$ 는 $t_{0}$ 보다 큽니다. 직각삼각형을 세워 풀면 정확히 로런츠 인자가 튀어나옵니다.

$t = γ t_{0}, γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} \geq 1$

여기서 $t_{0}$ 를 고유 시간이라고 합니다. 두 사건이 같은 장소에서 일어나는 관성계, 즉 시계와 함께 움직이는 관성계에서 잰 시간입니다. 고유 시간은 언제나 가장 짧습니다. 다른 어떤 관성계에서 재도 그보다 긴 값 $γ t_{0}$ 가 나옵니다.

중요한 것은 이 효과가 대칭이라는 점입니다. 상대편도 내 시계가 느리다고 봅니다. 모순처럼 보이지만 동시성의 상대성을 함께 쓰면 두 이야기가 완벽히 맞아떨어집니다 — 두 사람이 '동시에 시계를 비교한다'고 할 때 그 '동시'가 서로 다르기 때문입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

$0.8 c$ 로 나는 우주선의 1년

$γ = \frac{1}{1 - 0. 8 ^{2}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.67, t = 1.67 \times 1 년$

우주선 안에서 1년이 흐르는 동안 지구에서는 약 1.67년이 흐릅니다. 우주선 승무원은 자기 시간이 느려졌다고 느끼지 않습니다 — 지구가 늦게 늙는 게 아니라, 지구에서 볼 때 우주선이 늦게 늙는 것입니다.
예시 2

대기에서 만들어진 뮤온

뮤온은 수명이 짧아, 정지 수명만으로 계산하면 광속에 가까워도 대부분 지표에 닿기 전에 붕괴해야 합니다. 그런데 실제 검출량은 훨씬 많습니다. 지상 관측자가 보기에 뮤온의 시계가 느려져 수명이 $γ$ 배로 늘어난 것입니다. 시간 팽창의 가장 직접적인 실험 증거 중 하나입니다.
예시 3

왜 일상에서는 안 보이는가

$v = 0.01 c \Rightarrow γ \approx 1.00005$

광속의 1 %(초속 3000 km!)로 달려도 시간 팽창은 십만분의 오 수준입니다. 비행기 속도에서는 훨씬 더 작습니다. 효과가 없는 게 아니라, 정밀한 원자시계라야 잡아낼 만큼 작을 뿐입니다.

자주 하는 오해

움직이는 사람이 자기 시간이 느려진 것을 느낀다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움우주선 승무원은 자기 심장이 천천히 뛰고 시계가 느리게 가는 것을 느낀다

실제로는우주선 안에서는 모든 것이 완전히 정상입니다. 시간 팽창은 다른 관성계에서 그 시계를 잴 때 나타납니다.

우주선 안 사람에게 우주선은 정지해 있습니다. 상대성 원리에 따라 정지한 관성계에서는 물리 법칙이 평소 그대로입니다. 시간이 '느려졌다'는 말은 항상 '누구에 대해서'가 붙어야 의미가 있습니다.

t_{0}

와

t

중 어느 쪽이 고유 시간인지 헷갈리기

이렇게 생각하기 쉬움문제에서 지구에서 잰 시간을

t_{0}

에 넣는다

실제로는고유 시간

t_{0}

는 '두 사건이 같은 자리에서 일어나는' 관성계의 시간, 즉 시계와 함께 움직이는 쪽의 시간입니다. 항상

t_{0}

가 더 짧습니다.

γ \geq 1

이므로

t = γ t_{0} \geq t_{0}

입니다. 계산 결과 '움직이는 시계가 더 많이 갔다'가 나왔다면

t_{0}

를 반대로 넣은 것입니다. 문제에서 '누구의 손목시계인가'를 먼저 찾으면 실수가 사라집니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

특수 상대성 이론고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

상대론적 운동량과 에너지고2

같은 단원의 개념 — 빛과 물질

자주 묻는 질문

Q1쌍둥이 역설은 어떻게 해결되나요?

지구에 남은 쌍둥이와 우주여행을 다녀온 쌍둥이는 대칭이 아닙니다. 여행자는 되돌아오기 위해 반드시 방향을 바꿔야 하고, 그 순간 관성계를 갈아탑니다. 관성계를 바꾸지 않은 쪽이 더 많은 시간을 겪으므로, 돌아온 쌍둥이가 더 젊습니다.

Q2시간 팽창이 실제로 확인된 적이 있나요?

네. 대기 중 뮤온의 검출량, 가속기에서 만든 불안정 입자의 수명 증가, 원자시계를 비행기에 실어 지상 시계와 비교한 실험 등에서 확인됩니다. GPS 위성도 이 효과를 매일 보정합니다.

Q3빛의 속도로 달리면 시간이 멈추나요?

v \to c

이면

γ \to \infty

가 되어 형식적으로는 그렇습니다. 하지만 질량이 있는 물체는

c

에 도달할 수 없습니다 — 상대론적 운동량과 에너지에서 보듯 필요한 에너지가 무한대로 발산하기 때문입니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 빛과 물질 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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시간이 늘어났다면 공간은 어떻게 될까요? 길이 수축에서 같은 뮤온 이야기를 반대편 관성계에서 다시 읽어 보세요.

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